Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας

O Ζήνωνας ο Ελεάτης(490-430 π.Χ.), μαθηματικός και φιλόσοφος, μεταξύ άλλων είχε γράψει τέσσερα παράδοξα, η αλλιώς "τα παράδοξα της κίνησης", με τα οποία υποστήριζε την Παρμενίδα θέση, ότι δηλαδή η κίνηση είναι αδύνατη! Εμείς θα ασχοληθούμε με το πιο γνωστό, το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας.

Η ιστορία έχει ως εξής: Ο Αχιλλέας και η χελώνα αποφάσισαν να κάνουν έναν αγώνα δρόμου. Για να το κάνουν λίγο πιο ενδιαφέρον όμως, η χελώνα ξεκίνησε σε κάποια απόσταση πιο μπροστά από τον Αχιλλέα, καθώς ο τελευταίος είναι πολύ πιο γρήγορος από αυτήν. Το παράδοξο είναι ότι για όση διάρκεια και να συνεχιστεί ο αγώνας- ο Αχιλλέας δε θα τη περάσει ποτέ.

Πως είναι δυνατό ο Ζήνων να υποστήριξε κάτι τέτοιο;

Αν υποθέσουμε πως η χελώνα ξεκινάει 100m μπροστά από τον Αχιλλέα ο οποίος τρέχει με 10m/s. Έστω η χελώνα κινείται με 1m/s (Οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία αφού υποθέτουμε πως ο αγώνας μπορεί να συνεχίζεται επ'άπειρου).

• Όταν λοιπόν ο Αχιλλέας θα έχει πάει στα 100m, η χελώνα θα βρίσκεται 10m μπροστά του.
• Όταν θα διανύσει αυτά τα 10 μέτρα, η χελώνα θα βρίσκεται 1m μπροστά του.
• Όταν διανύσει τo 1m, η χελώνα θα βρίσκεται 0,1m μπροστά του, και ούτω καθεξής.

Επομένως ο Αχιλλέας δε θα προσπεράσει ποτέ τη χελώνα.

Που είναι το λάθος?

Πουθενά μάλλον..!

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση του Άγγλου μαθηματικού και φιλόσοφου Bertrand Russell στις αρχές του 20ου αιώνα για το πρόβλημα αυτό. Το κύριο σημείο του επιχειρήματος του Russel είναι η ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας. Σε κάθε στιγμή της κίνησής τους ο Αχιλλέας είναι κάπου- το ίδιο και η χελώνα. Δεν είναι δυνατόν για κανέναν τους να βρίσκεται ποτέ δυο φορές στο ίδιο μέρος κατά τη διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων όπου πηγαίνει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που πηγαίνει η χελώνα. Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάσει τη χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε θα ήταν μεγαλύτερος από τον αντίστοιχο της χελώνας. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από τη χελώνα. Έτσι κατά τον Russell, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το εξής παράδοξο: ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε ο Αχιλλέας είναι ίσος από τον αριθμό των σημείων που πέρασε η χελώνα, και μάλιστα την ίδια στιγμή στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει τη χελώνα, ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος για τον Αχιλλέα! Αυτό όμως είναι μια αντίφαση. Ωστόσο, τα δυο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλαδή τα μέρη τους, αν όχι ίσα, είναι ισοδύναμα.

ΠΗΓΗ

ΠΗΓΗ

ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΤΟ ΕΝΑΤΟ ΚΥΜΑ