Τελεία και παύλα: Το αριθμητικό σύστημα των Μάγια και το μηδέν

._ Τελεία και παύλα: Το αριθμητικό σύστημα των Μάγια και το μηδέν Μικρή αναδρομή Οι Μάγια, λαός ινδιάνων της κεντρικής Αμερικής, είχαν αναπτύξει έναν από τους λαμπρότερους πολιτισμούς στο Δυτικό ημισφαίριο.  Από τα αρχαιολογικά μνημεία που διασώθηκαν μέχρι σήμερα, βγαίνει το συμπέρασμα πως ο πολιτισμός τους ήταν εφάμιλλος με γνωστούς πολιτισμούς της αρχαιότητας, όπως, της Ελλάδας, της Αιγύπτου, της Ινδίας κ.ά. Η αρχιτεκτονική τους ήταν αξιοθαύμαστη, καθώς περιλαμβάνει πυραμοειδείς ναούς, πέτρινα σπίτια και κομψά σχέδια, γλυπτά, αλλά και ζωγραφιστά, γεγονός που αποδεικνύει πως είχαν αναπτύξει τέχνες όπως, γλυπτική και ζωγραφική. Είχαν κάνει σημαντικά βήματα και στην ιατρική επιστήμη. Είχαν επιτεύξει μια συναρπαστική και εντυπωσιακή κοινωνικοοικονομική πολυπλοκότητα, κατά τη διάρκεια της περιόδου πριν από την Ισπανική κατάκτηση.  Ήταν λαός που ασχολούνταν με τη καρποφόρα γη, καλλιεργούσαν καλαμπόκι και άλλες καλλιέργειες, μ' ένα προηγμένο γεωργικό σύστημα που περιελάμβανε άδρευση.  Κατεργάζονταν το χαλκό και το χρυσό, γνώριζαν την υφαντουργία και η γραπτή τους γλώσσα ήταν ένα σύστημα ιερογλυφικών, λαξευμένων σε πέτρα, αλλά και χαρτί φτιαγμένο από φλοιό δέντρων. Η διαίρεση της ποικιλίας της γλώσσας τους, φαίνεται να συμπίπτει με τη γεωγραφική διαίρεση της φυλής των Μάγια, όπου σύμφωνα με τις έρευνες αρχαιολόγων και ερευνητών, ζούσαν σε τρεις (3) ζώνες, βόρεια, κεντρικά και νότια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως, προκαλεί το αριθμητικό σύστημα των Μάγια, αλλά και ο τρόπος με τον οποίο έφτασε στα χέρια μας. Ξεκινώντας από το δεύτερο, θα πρέπει να πάμε πολύ πίσω, περί το 1505, τον Hernan Cortes και στη χερσόνησο Yucatan.  Hernando Cortes Ο ισπανός κατακτητής Hernando Cortes (1460 - 1521) -που στην ιστορία παρουσιάζεται με το όνομα Hernan Cortes- ενθουσιασμένος από τις ιστορίες που έφταναν από τις εκτάσεις, που πρόσφατα τότε, είχε ανακαλύψει επίσημα ο Κολόμβος το 1492, έπλευσε από την Ισπανία το 1505 για την Hispaniola, το σημερινό Santo Domingo. Έμεινε εκεί για κάποια χρόνια, καλλιεργώντας τη γη και στη συνέχεια έφυγε για τη κατάκτηση της Κούβας μαζί με τον Diego Velasquez -και  υπό τις διαταγές του- το 1511, όπου διατέλεσε δύο φορές εκλεγμένος ταγματάρχης του Santiago. Στις 18 Φεβρουαρίου 1519, που ανακαλύπτεται το Μεξικό, παίρνει εντολή να δημιουργήσει στο Yucatan -τη σημερινη πόλη Vera Cruz- αποικία και να «εκχριστιανίσει» τον πληθυσμό. Φτάνει εκεί με ισχύ από 11 πλοία, 508 στρατιώτες, 100 ναύτες και 16 ίππους.  Συναντά ελάχιστη αντίσταση από τον τοπικό πληθυσμό, ο οποίος εντυπωσιάζεται από τους σιδηρόφρακτους Ευρωπαίους ιππότες, που συμπεραίνουν ότι επέστρεψε ο φοβερός θεός Κετσακόατλ για να καταλάβει την εξουσία στο βασίλειό τους. Οι στρατιωτικοί του Cortes, ανακοινώνουν στο βασιλιά Μοντεζούμα Β'  ότι ο θεός έχει φέρει μαζί του μεταλλικούς στρατιώτες, οι οποίοι κρατάνε ράβδους που πετάνε φωτιές (πυροβόλα όπλα). Κάτι που αποδεικνύεται από σκίτσα των εντυπωσιασμένων Αζτέκων που έχουν διασωθεί και στα οποία παριστάνεται το σώμα των ιπποτών ενιαίο με αυτό των αλόγων τους. Σχέδιο που θυμίζει κενταύρους της ελληνικής μυθολογίας. Μέσα στα δώρα που δέχεται από τους ανθρώπους της Yucatan ήταν και είκοσι κορίτσια, από τα οποία παντρεύεται το ένα, την Malinche, η οποία έπαιξε σημαντικό ρόλο στις επιχειρήσεις του Cortes, ως διερμνηνέας. Ο Cortes κατέλαβε το Tenochtitlan πριν το τέλος του 1519 -πόλη η οποία ξαναχτίστηκε ως πόλη του Μεξικού το 1521- και πριν το τέλος του ίδιου χρόνου είχε κατακτήσει ολόκληρη την αυτοκρατορία των Ατζέκων.                               Λίγο αργότερα,  το 1541, συναντάμε τον Diego de Landa -φραγκισκανό επίσκοπο της Ρωμαιοκαθολικής Αρχιεπισκοπής Yucatan-  ο οποίος προσχώρησε στο Τάγμα των Φραγκισκανών σε ηλικία 17 ετών,  και στάλθηκε στο Νέο Κόσμο ως ιεραπόστολος, με σκοπό να φέρει την Ρωμαιοκαθολική πίστη στους Μάγια.  Μελετητές του Μεξικού, ισχυρίζονται ότι η Μεξικανή Ιερά Εξέταση έδειξε λίγη ανησυχία για την εξάλειψη της μαγείας ή τη καταδίκη μεμονωμένων ετερόδοξων πεποιθήσεων.  Και ακόμη, ότι η μαγεία ήταν κάτι που αντιμετώπιζαν περισσότερο, ως θρησκευτικό πρόβλημα, που μπορούσε να επιλυθεί με την εξομολόγηση και την άφεση αμαρτιών. Diego de Landa Ο Diego de Landa, όμως, πίστευε πως υπήρχε ένα υπόγειο δίκτυο από αποστάτες, που ήταν υποκινούμενοι από εκτοπισμένους αυτόχθονες ιερείς, που ζήλευαν την εξουσία της Εκκλησίας και ήθελαν να την διεκδικήσουν. Έτσι, θεώρησε καθήκον του να αποκαλύψει το "κακό" - τον διάβολο - πρωτού αυτό καταφέρει να επαναφέρει τον πληθυσμό στη προηγούμενη ειδωλατρική θρησκεία του. Yukatan Κώδικας της Δρέσδης, σελ. 35 Στα πλαίσια του ισχυρισμού ότι είχε αποδεικτικά στοιχεία για ανθρώπινες θυσίες και ειδωλολατρικές πρακτικές των Ιθαγενών, αναφέρθηκε σ' ένα υποτιθέμενο θύμα, το οποίο αργότερα διαπιστώθηκε ότι ζούσε. Βέβαια, σύμφωνα με Φραγκισκανό βιογράφο, ο Landa έκανε αποστολή του, να περπατήσει το εύρος της χερσονήσου και να κηρύξει ακόμη και στα πιο απομακρυσμένα χωριά. Κι ότι, επίσης, τότε  ήταν που έπεσε πάνω σε 300 θιαγενείς, έτοιμους να θυσιάσουν ένα νεαρό αγόρι, περνώντας απ' το Cupules. Όρμησε στο πλήθος, απελευθέρωσε το αγόρι, και άρχισε να σπάει τα είδωλα και να κηρύττει με τόσο ζήλο, προκειμένου να τους πείσει να παραμείνει στη γη τους και να τους διδάξει...(!) Ήταν διατεθειμένος να πάει εκεί, που δεν θα πήγαιναν άλλοι. Κέρδισε την εμπιστοσύνη των κατοίκων και περπάτησε σε μέρη απάτητα για τους Ισπανούς κατακτητές, με όπλο την πεποίθηση ότι έπρεπε να μάθει όσο το δυνατόν περισσότερα γι' αυτό το πολιτισμό, ώστε να είναι ευκολότερο, γι' αυτόν, να τους καταστρέψει στο μέλλον.  Είχε τέτοια οικειότητα με τους ντόπιους, ώστε του έδειξαν πολλές από τις μυστικές ιερές γραφές τους που είχαν μεταγράψει σε βιβλία από δέρμα ελαφιού. Ο Diego de Landa θεώρησε την ύπαρξη αυτών των ευρημάτων απόδειξη διαβολικών πρακτικών και γι' αυτό τα έκαψε, όπως ο ίδιος ομολογεί: "Βρήκαμε έναν μεγάλο αριθμό βιβλίων σε αυτούς τους χαρακτήρες και, αφού δεν περιλαμβάνουν τίποτε που να μη μπορεί να θεωρηθεί ως δεισιδαιμονία και ψέματα του διαβόλου, τα κάψαμε όλα αυτά, για τα οποία (οι Μάγια) μετάνιωσαν σε εκπληκτικό βαθμό, και τα οποία τους προξένησαν μεγάλη οδύνη." Μετά από ακρόαση της Ρωμαιοκαθολικής για τους Μάγια, που συνέχιζαν να είναι ειδωλολάτρες, ο Diego de Landa παράγγειλε Ιερά Εξέταση στη Μάνη1 (Mani), τελειώνοντας με μια  Auto de fe2 τελετή, η οποία έγινε στις 12 Ιουλίου 1562. Δυστυχώς, κατά τη διάρκεια αυτής της τελετής μεγάλος αριθμός από κώδικες, χειρόγραφα και περίπου 5.000 λατρευτηκές εικόνες, κάηκαν. Κομμάτι από τον Κώδικα της Δρέσδης Έτσι, οι πράξεις του Diego de Landa έχουν περάσει στο "Μαύρο θρύλο" ή "Σκοτεινό Θρύλο" (Black Legend3) των Ισπανών στην Αμερικανική ήπειρο. Μόνο τρία από τα ιερογλυφικά "βιβλία" των Μάγια και θραύσματα από ένα τέταρτο, γνωρίζουμε σήμερα πως διασώθηκαν, και τα οποία είναι γνωστά και ως "κώδικες". Όταν ο  Diego de Landa  επέστρεψε στην Ισπανία γύρω στο 1566, γράφει ένα βιβλίο που απαριθμούσε τις γλώσσες των Μάγια και περιείχε στοιχεία για τη θρησκεία, το πολιτισμό και το σύστημα γραφής τους, με τίτλο "Relacion de las cosas de Yucatan". Relación de las cosas de Yucatán, αντίγραφο του 1864 De Landa alphabet Πρόκειται για χειρόγραφο, του οποίου το πρωτότυπο και τα αντίγραφα έχουν χαθεί. Η σωζόμενη έκδοση, υπολογίζεται ότι φτιάχτηκε το 1660,  αλλά ανακαλύφθηκε το 1862 από  κληρικό του 19ου αιώνα, τον  Charles Brasseur Etienne de Bourbourg, ο οποίος και το δημοσιεύει δύο χρόνια αργότερα σε δίγλωσση γαλλο-ισπανική έκδοση, με τίτλο "elation des choses de Yucatan de Diego de Landa". Το έργο αυτό έχει χαρακτηρισθεί ως "εθνογραφικό αριστούργημα" και αποτελεί ένα πολύτιμο αρχείο για το πολιτισμό των Μάγια, που παρά τις ανακρίβειες, έχει παίξει καθοριστικό ρόλο στην αποκρυπτογράφηση του συστήματος γραφής τους.  Μέσα απ' το χειρόγραφο, διαφαίνεται κάποιο ίχνος μετάνοιας του Diego de Landa για τις πράξεις του. Το σίγουρο είναι πως πρόκειται για μια προσπάθεια να τις δικαιολογήσει  - υψηλή προσδοκία - και ερχόμενος σε επαφή με πολλούς ιθαγενείς και άλλους στη γύρω περιοχή, θέλησε να υποστηρίξει πως η εκδοχή των γεγονότων που εκείνος έδωσε, εμπεριέχουν τουλάχιστον κάποιες αλήθειες. Το παρατηρητήριο των Μάγια Αριθμητικό σύστημα της φυλής των Μάγια Κώδικας της Δρέσδης Από τα χειρόγραφα της Δρέσδης (σπάνια χειρόγραφα της φυλής των Μάγια) προκύπτει ότι η τελεία και η παύλα, ήταν τα δύο μοναδικά σύμβολα του αριθμητικού συστήματος των Μάγια. Η τελεία αντιπροσώπευε τη μονάδα και η παύλα την πεντάδα. Δηλαδή, μια τελεία αντιπροσώπευε την αριθμητική αξία του 1 και μια παύλα το 5. Συνεπώς, το " ._ "  για τη φυλή των Μάγια σήμαινε 15. Πρόκειται για ένα εξελιγμένο προσθετικό και «θεσιακό» σύστημα, που χρησιμοποιούσαν κατά τον 3ο αιώνα μ.Χ., όπως προκύπτει από τα χειρόγραφά τους. Αν εμείς σήμερα γνωρίζουμε το δεκαδικό σύστημα, οι Μάγια χρησιμοποιούσαν το εικοσαδικό σύστημα, όπου οι τάξεις τους πήγαιναν από τη μονάδα στην εικοσάδα, στοιβάζοντας τους αριθμούς θεσιακά τον έναν πάνω στον άλλον και διαβάζοντας τον αριθμό με κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω. Με αυτό το τρόπο μπορούσαν να πραγματοποιήσουν πολύπλοκους υπολογισμούς. Ο αριθμός "0" είναι μια άλλη πρωτοπορία της φυλής των Μάγια. Πρόκειται για το σύμβολο που "βασάνισε" τους λαούς που ασχολήθηκαν με την πρώτη αρίθμηση, και που η αξία και σημασία του προέρχεται από την αναγκαιότητα ύπαρξης και εφεύρεσης ενός συμβόλου, για τις τάξεις που είναι μηδενικές. Συμβόλου, που θα μπορεί να εκπροσωπεί το "καθόλου δεκάδες".  Στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, αν δεν υπήρχε το μηδέν θα ήταν πολύ πιθανό να μπερδεύαμε για παράδειγμα, το 102 με το 12.  Λέγεται πως η φυλή των Μάγια είναι ο πρώτος λαός του κόσμου που χρησιμοποίησε τον αριθμό "0". Στην πραγματικότητα, αυτό είναι τόσο κοντά στην αλήθεια, όσο και μακριά. Κώδικας της Δρέσδης Η φυλή των Μάγια, πράγματι - ανεπηρέαστη από τους Βαβυλώνιους και άλλους λαούς που έκαναν τα πρώτα τους βήματα στην ανακάλυψη ενός αριθμητικού συστήματος, που γεννούσε η αναγκαιότητα για γραπτούς πρακτικούς υπολογισμούς - υιοθέτησαν εύκολα, σύμβολα, για να γεμίσουν το κενό στις αριθμητικές τους πράξεις.  Χρησιμοποιώντας μορφές ματιών, κογχυλιών και άλλων μορφών, για ν' αντιμετωπίσουν το πρόβλημα των "άδειων τάξεων" στους υπολογισμούς τους. Και το υιοθέτησαν εύκολα, γιατί δεν ήταν κάτι νέο γι' αυτούς. 1100 χρόνια πριν από τους Βαβυλώνιους, οι ιερείς-αστρονόμοι πρόγονοι των Μάγια, είχαν αντιμετωπίσει το ίδιο πρόβλημα για πρώτη φορά το 3113 π.Χ. στη προσπάθειά τους ν' ανατπύξουν ένα σύστημα ιερογλυφικών για τη καταγραφή του παρελθόντα χρόνου στις ιερές ημερολογιακές τους στήλες. Σύστημα, του οποίου τα σύμβολα αντιπροσώπευαν τα χρονικά διαστήματα, ως πολλαπλάσια των ημερών. Το ιερογλυφικό αυτό σύστημα δεν είχε σχέση με την αριθμητική, αλλά με την αλληλουχία των χρονικών περιόδων που, σύμφωνα με τη θρησκεία των Μάγια,   η κάθε μια προερχόταν από έναν θεό, φορέα και υπεύθυνο για την περίοδο αυτή. Ονόματα όπως "ΚΙΝ", "ΟΥΙΝΤΑΛ", "ΤΟΥΝ" κ.ά. ήταν ονόματα θεών  που ήταν υπεύθυνοι για συγκεκριμένη χρονική περίοδο, στους οποίους προσέφεραν θυσίες προκειμένου να τους ευχαριστήσουν και να πάει καλά η χρονιά. Η ασέβεια προς τους θεούς ήταν κάτι που έπρεπε ν' αποφύγουν και στη προσπάθειά τους να καταγράψουν στις επιγραφές τους θεούς που αλληλοδέχονταν ο ένας τον άλλον, έπρεπε να βρουν έναν τρόπο ν' αναφέρουν και τους άλλους θεϊκούς φορείς -πολιούχους θεούς χρονικών διαστημάτων-  τιμώντας τους έτσι, για τη παρέλευση ετών, μηνών και ημερών που οι θεοί αυτοί χάριζαν στου Μάγια. Έπρεπε να επινοήσουν ένα σύμβολο, που θ' αντιπροσώπευε μια γενικότητα, έστω κι ένα σύμβολο του "τίποτα", που οι υπόλοιποι θεϊκοί φορείς θα κουβαλούσαν στην επιγραφή. Η παράλειψή τους θα ήταν ασέβεια, σύμφωνα με τη θρησκεία των Μάγια. Για παράδειγμα, 1 ΤΟΥΝ (Tun)=360 μέρες. Αν ήθελαν, λοιπόν, να συμβολίσουν μια πεντάδα χρόνια θα το έγραφαν με το ιερογλυφικό του ΤΟΥΝ (Tun) συνδεδεμένο με μια παύλα (αριθμητικό σύμβολο του "5"), αφού αυτά τα πέντε χρόνια τα πρόσφερε ο πολιούχος θεός ΤΟΥΝ (Tun).  Για  να παραστήσουν τον αριθμό  9 ΜΠΑΚTΟΥΝ (Baktun)+ 17 ΚΑΤΟΥΝ (K'atun), καταγράφοντας έτσι το χρονικό διάστημα που πέρασε, σκάλιζαν τα ιερογλυφικά σύμβολα του ΜΠΑΚTΟΥΝ (Baktun)  και του ΚΑΤΟΥΝ (K'atun) μαζί με τα αριθμητικά τους σύμβολα. Ο φόβος και ο σεβασμός όμως, προς τους υπόλοιπους θεϊκούς φορείς ΤΟΥΝ, ΟΥΙΝΤΑΛ και ΚΙΝ τους επέβαλε να σκαλίσουν και τα δικά τους ιερογλυφικά, τα οποία όμως συνέδεαν με σύμβολο που είχε την έννοια του "τίποτε". Ήταν τιμητικά. Κατά μια έννοια λοιπόν, οι Μάγια ιερείς-αστρονόμοι ήταν αυτοί που είχαν επινοήσει ένα πρωταρχικό σύμβολο της "μηδενικής ποσότητας". Γι' αυτό και οι απόγονοί τους το 3ο αιώνα μ.Χ.  έλυσαν εύκολα το πρόβλημα των "άδειων τάξεων", υιοθετώντας διάφορες παραλλαγές μορφών ως σύμβολα που "γέμιζαν τον κενό". Τσιλιάνη Γεωργία gtsiliani@outer.gr ________________________________________________________________________ Παραπομπές: 1. Mani: μικρή πόλη ενός δήμου, με το ίδιο όνομα, στην μεξικανική πολιτεία του Yucatan 2. Auto de Fe, σε μεσαιωνικά ισπανικά (και τα Πορτογαλικά) σημαίνει "πράξη πίστης". Η φράση που χρησιμοποιείται πιο συχνά στην αγγλική γλώσσα με την πορτογαλική εναλλακτική μορφή είναι το Auto-da-Fe. Πρόκειται για δημόσια τελετουργία μετάνοιας, που λάμβανε χώρα μετά τη δίκη και την απόφαση της Ιεράς Εξέτασης, για την τιμωρία και τη καταδίκη αιρετικών και αποστατών. 3. Ο "Μαύρος Θρύλος" ή "Σκοτεινός Θρύλος"  (ισπανικά: La Leyenda Negra), είναι όρος που επινοήθηκε από Julian Juderias, στο βιβλίο του 1914 "La leyenda negra y la VERDAD historica" (Ο Μαύρος Θρύλος και ιστορική αλήθεια), για να περιγράψει την απεικόνιση της Ισπανίας και των Ισπανών ως "άγριων", "δυσανεκτικών" και "φανατικών" στην αντι-ισπανική λογοτεχνία, που ξεκίνησε το δέκατο έκτο αιώνα. ----------------------- Πηγές: "Η μακραίωνη ιστορία του μηδενός",  Άρθρο του Γ. Πισκοπάνη, Περιοδικό "RAM" "The Universal History of Numbers: From Prehistory to the invention of the Computer" (Ελλ.«Παγκόσμια Ιστορία των Αριθμών») George Ifram Maya calendar, Ηλεκτρονική εκγυκλοπαίδεια wikipedia Diego de Landa Calderon, Ηλεκτρονική εκγυκλοπαίδεια wikipedia Guatemala, cradle of the Maya civilization (Γουατεμάλα, γενέτειρα του πολιτισμού των Μάγια)www.authenticmaya.com Λατινοαμερικάνικες σπουδές (www.latinamericanstudies.org) Σελίδες του καθηγητή Στέλλιου Γ. Φραγκόπουλου, Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος και Διδάκτωρ Μηχανικός (sfrang.com) "Mayan mathematics", άρθρο των καθηγητών JJ O'Connor και EF Robertson, στο τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής στο Πανεπιστήμιο του St Andrews [School of Mathematical and Computational Sciences-University of St Andrews (www-groups.dcs.st-and.ac.uk)] ΠΗΓΗ ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΤΟ ΕΝΑΤΟ ΚΥΜΑ