Ο νόμος του Benford...Αν και η δοκιμή έγινε για να αποδειχθεί ότι η Ελλάδα είχε δώσει πλαστά στοιχεία, στην ανακοίνωση των αποτελεσμάτων τους το 2011 υποστήριξαν ότι πέραν της Ελλάδας και η διακύμανση του Βελγίου από την αναμενόμενη κατανομή ήταν σχεδόν τόσο ακραία που θα έπρεπε να διερευνηθεί!

H ιστοσελίδα www.arandomnumber.com ζητά από τους επισκέπτες της να δώσουν ο καθένας έναν αριθμό, από το 1 μέχρι το 100, χωρίς περαιτέρω διευκρινήσεις. 

Ο δημιουργός της σελίδας Graig Lambs προσπαθεί, με τα δεδομένα που συλλέγει, να αναγνωρίσει μοτίβα και συμπεριφορές στην επιλογή των αριθμών από τους ανθρώπους. Αυτό που έχει διαπιστώσει μέχρι τώρα είναι ότι οι επιλογές τους κάθε άλλο παρά τυχαίες είναι!


Οι πέντε πιο δημοφιλείς αριθμοί είναι: 5, 37, 7, 56 και 42. Ο αριθμός 5 εμφανίστηκε 3 φόρες συχνότερα από ότι θα έπρεπε, αν οι αριθμοί επιλέγονταν τυχαία.

Ο δημιουργός της σελίδας εικάζει ότι ο λόγος της συχνής επιλογής του 5 είναι ότι το 5 βρίσκεται στην μέση της γραμμής με τα αριθμητικά πλήκτρα στο κυρίως πληκτρολόγιο, όπως επίσης και στο μέσο του τετραγώνου του αριθμητικού πληκτρολογίου, πράγμα που το καθίστα ορατό και παράλληλα την πιο εύκολη επιλογή.

Οι αριθμοί 7, 37 επιλέγονται πιο συχνά επειδή είναι πρώτοι αριθμοί. Σύμφωνα με τον Graig Lambs (αυτή είναι μια εκδοχή που μου αρέσει) το 42 είναι τόσο δημοφιλής αριθμός εξαιτίας του βιβλίου του Ντάγκλας Ανταμς «Γυρίστε τον Γαλαξία με ωτοστόπ».

Στο βιβλίο του Ανταμς, η Ύψιστη Απάντηση στη Ζωή, στο Σύμπαν και στα Πάντα, αναζητείται χρησιμοποιώντας τον υπερυπολογιστή Deep Thought. Ύστερα από έναν πολύ μεγάλο χρόνο υπολογισμού - 7,5 εκατομμύρια χρόνια - ο Deep Thought δίνει την απάντηση: «Αριθμός 42».

Οι πέντε λιγότερο δημοφιλείς αριθμοί είναι: 40, 91, 94, 70 και 90. Είναι εύκολο να συμπεράνουμε οι άνθρωποι όσο και να προσπαθούν όταν διαλέγουν αριθμούς δεν το κάνουν τυχαία, ακολούθουν έστω και ασυνείδητα κάποιες συμπεριφορές.

Αυτή είναι και η αχίλλειος πτέρνα των απανταχού τζογαδόρων, νομίζουν ότι και στα τυχερά παίγνια υπάρχουν τέτοιες κανονικότητες, σχέδια που προσπαθούν να ανακαλύψουν για να κερδίσουν. Ένας γνωστός μου που έπαιζε Τζόκερ αφού μελετούσε τις συχνότητες εμφάνισης κάθε αριθμού ξεχωριστά ...δεν κέρδισε ποτέ.

Όμως δεν είναι μόνο οι αριθμοί που επιλεγούμε αυτοί που συγκεντρώνουν κοινά χαρακτηριστικά αλλά κάθε σύνολο αριθμητικών δεδομένων. Για παράδειγμα ο νόμος του Benford ισχυρίζεται ότι όταν έχουμε αριθμητικά δεδομένα, ενώ θα περιμέναμε ότι για το πρώτο ψηφίο των αριθμών, όλα τα ψηφία από το 1 έως το 9 να έχουν την ίδια συχνότητα εμφάνισης, δεν συμβαίνει αυτό.

Τις περισσότερες φορές έχουμε την εξής κατανομή συχνοτήτων:

Ψηφίο	Πιθανότητα
1	30,1 %
2	17,6 %
3	12,5 %
4	9,7 %
5	7,9 %
6	6,7 %
7	5,8 %
8	5,1 %
9	4,6 %

Για παράδειγμα το 1 εμφανίζεται πιο συχνά, 30 στις 100 φόρες, σε αντίθεση με το 9 που εμφανίζεται μόνο 4,6 φορές στις 100.

Η εμφάνιση του φαινόμενου είχε επισημανθεί για πρώτη φορά το 1881 από τον Αμερικανό αστρονόμο Simon Newcomb. Την εποχή εκείνη δεν υπήρχαν υπολογιστές ούτε καν αριθμομηχανές χειρός, όλοι οι υπολογισμοί γίνονταν στο χέρι ή με την βοήθεια του λογαριθμικού κανόνα.

Αργότερα, το 1938, ο φυσικός Frank Benford κατόρθωσε να επαληθεύσει το νόμο του πρώτου ψηφίου, ο οποίος και πήρε το όνομα του. Ο τύπος για την πιθανότητα εμφάνισης των ψηφίων από το 1 έως το 9 είναι:

log10(v+1) - log10(v)

όπου v = 1,2,3,…,9

Ο νόμος του Benford ισχύει για αριθμητικά δεδομένα που προκύπτουν από διάφορα φυσικά, οικονομικά και κοινωνικά συστήματα, όπως τιμές μετοχών, αριθμοί λογαριασμών ηλεκτρικού ρεύματος, ποσοστά θνησιμότητας, διευθύνσεις οδών, αριθμοί άρθρων σε εφημερίδες, πληθυσμοί χωριών και πόλεων, μαθηματικές σταθερές, μήκη ποταμών κ.ά.

Έχει επίσης ισχύ και στα νούμερα που εμφανίζονται στις φορολογικές δηλώσεις. Το 1972, ο καθηγητής Hal Varian του Information School στο Berkley, πρότεινε να χρησιμοποιηθεί ο νόμος του Benford για τον ευκολότερο εντοπισμό των ψευδών φορολογικών δηλώσεων.

Όντως οι επαγγελματίες φοροφυγάδες στην προσπάθειά τους να στήσουν όσο το δυνατόν καλύτερα την απάτη τους, κάνουν κάτι που τελικά αποδεικνύεται μάλλον αφύσικο, τείνουν να κατανέμουν τα σχετικά νούμερα με τόσο τυχαίο τρόπο, που αποκλίνουν σημαντικά από την κατανομή Benford.

Ο γερμανός οικονομολόγος Gernot Braehler του Πανεπιστημίου του Ilmenau και τρεις ακόμη ακαδημαϊκοί, ανέλυσαν 156 δημοσιευμένα οικονομικά στοιχεία από 16 χώρες μεταξύ 1999 και 2009, και την απόκλισή τους σε σχέση με τον νόμο του Benford.

Αν και η δοκιμή έγινε για να αποδειχθεί ότι η Ελλάδα είχε δώσει πλαστά στοιχεία, στην ανακοίνωση των αποτελεσμάτων τους το 2011 υποστήριξαν ότι πέραν της Ελλάδας και η διακύμανση του Βελγίου από την αναμενόμενη κατανομή ήταν σχεδόν τόσο ακραία που θα έπρεπε να διερευνηθεί!

Παρόλα αυτά πρέπει να τονιστεί, πάντως, ότι ο νόμος του Benford δεν έχει καθολική ισχύ. Για παράδειγμα, διαπιστωμένα ΔΕΝ ισχύει για αριθμούς που προκύπτουν από πραγματικά τυχαίες διαδικασίες, ούτε για αριθμούς από μικρά σύνολα δεδομένων.

ΠηγέςMathhMagic
DeltaHacker
MonstersAndCritics
Wikipedia

ΠΗΓΗ
ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΤΟ ΕΝΑΤΟ ΚΥΜΑ