Οι νόμοι της αλήθειας και της μισής αλήθειας | Μέρος Α’ (LEONARD MLODINOW)

Στην ιστορία των μαθηματικών οι αρχαίοι Έλληνες κατέχουν ξεχωριστή θέση επειδή επινόησαν τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζονται τα σύγχρονα μαθηματικά: μέσω αξιωμάτων, αποδείξεων, θεωρημάτων, περισσότερων αποδείξεων, περισσότερων θεωρημάτων κ.ο.κ. Κατά τη δεκαετία του 1930, ωστόσο, ο Αυστροαμερικανός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ -φίλος του Αϊνστάιν απέδειξε ότι αυτή η προσέγγιση είναι κάπως ανεπαρκής: οι περισσότερες μαθηματικές θεωρίες, όπως κατέδειξε, πρέπει είτε να είναι ασυνεπείς είτε να εμπεριέχουν αλήθειες που δεν μπορούν να αποδειχθούν. Παρόλα αυτά, η πορεία των μαθηματικών συνεχίστηκε με αμείωτο ρυθμό σύμφωνα με το ελληνικό πρότυπο, το πρότυπο του Ευκλείδη. Οι Έλληνες, ιδιοφυείς γεωμέτρες, δημιούργησαν ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων, δηλαδή προτάσεων που θα πρέπει να γίνουν αποδεκτές χωρίς να έχουν αποδειχθεί, και βάσει αυτών προχώρησαν στην απόδειξη πολλών όμορφων θεωρημάτων που περιγράφουν λεπτομερώς τις ιδιότητες των ευθειών, των επιπέδων, των τριγώνων και άλλων γεωμετρικών σχημάτων. Με αυτές τις γνώσεις αντιλήφθηκαν, για παράδειγμα, ότι η Γη είναι σφαιρική και μάλιστα υπολόγισαν και την ακτίνα της. Είναι σίγουρα αξιοπερίεργο γιατί ένας πολιτισμός που ήταν σε θέση να διατυπώσει ένα θεώρημα όπως η πρόταση υπ’ αριθμ. 29 του βιβλίου I των Στοιχείων του Ευκλείδη -«όταν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες, οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες, οι εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες, και οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες με το άθροισμα δύο ορθών γωνιών»- δεν δημιούργησε και μια θεωρία που να αποδεικνύει ότι αν ρίξουμε δυο ζάρια δεν είναι και τόσο συνετό να στοιχηματίσουμε την Κορβέτ μας στο ενδεχόμενο να φέρουν και τα δύο έξι.

Οι Έλληνες βέβαια όχι μόνο δεν είχαν Κορβέτ, δεν είχαν ούτε ζάρια. Ωστόσο, είχαν ροπή προς τα τυχερά παιχνίδια. Διέθεταν επίσης άφθονα κουφάρια ζώων, κι έτσι έριχναν «αστραγάλους» από διάφορα ζώα, δηλαδή μικρά οστά από τη φτέρνα του ζώου. Ο αστράγαλος έχει έξι έδρες, όμως μόνο οι τέσσερεις είναι αρκετά ευσταθείς ώστε να μπορεί να σταθεί το οστό σε μία από αυτές. Σύγχρονοι ερευνητές επισημαίνουν ότι, λόγω της κατασκευής του οστού, η πιθανότητα να σταθεί σε καθεμία από τις τέσσερεις αυτές έδρες δεν είναι η ίδια: δύο από τις έδρες έχουν πιθανότητα περίπου 10% η καθεμιά και οι άλλες δύο έχουν πιθανότητα από 40%. Σ’ ένα συνηθισμένο παιχνίδι ρίχνονταν τέσσερεις αστράγαλοι. Το αποτέλεσμα που εθεωρείτο καλύτερο ήταν μεν σπάνιο, αλλά όχι το σπανιότερο: ήταν η περίπτωση όπου οι τέσσερεις αστράγαλοι στέκονταν σε διαφορετική έδρα ο καθένας. Ο συνδυασμός αυτός ονομαζόταν “βολή της Αφροδίτης” και είχε πιθανότητα περίπου 384 στις 10.000. Οι Έλληνες, ωστόσο, που δεν διέθεταν κάποια θεωρία της τυχαιότητας, δεν το γνώριζαν αυτό.

Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τους αστραγάλους και όταν έθεταν ερωτήσεις στα μαντεία τους. Από τα μαντεία οι ερωτώντες λάμβαναν απαντήσεις που υποτίθεται ότι ήταν τα λόγια των θεών. Πολλές σημαντικές επιλογές που έκαναν εξέχοντες Έλληνες βασίζονταν στις συμβουλές των μαντείων, όπως μαρτυρεί ο ιστορικός Ηρόδοτος, αλλά και συγγραφείς όπως ο Όμηρος, ο Αισχύλος και ο Σοφοκλής. Ωστόσο, παρά τη σημασία της ρίψης αστραγάλων τόσο στα τυχερά παιχνίδια όσο και στη θρησκεία, οι Έλληνες δεν κατέβαλαν καμία προσπάθεια να κατανοήσουν τις κανονικότητες που διέπουν αυτές τις ρίψεις.

Γιατί οι Έλληνες δεν ανέπτυξαν κάποια θεωρία πιθανοτήτων; Μια εξήγηση είναι πως πολλοί Έλληνες πίστευαν ότι το μέλλον εκτυλίσσεται σύμφωνα με τη θεϊκή βούληση. Αν το αποτέλεσμα μιας ρίψης αστραγάλων σήμαινε «παντρέψου τη γεροδεμένη Σπαρτιάτισσα που σε έβαλε κάτω σ εκείνο τον αγώνα πάλης πίσω από το σχολείο», ο νεαρός Έλληνας δεν θα θεωρούσε το αποτέλεσμα της ρίψης το ευτυχές (ή ατυχές) προϊόν μιας τυχαίας διεργασίας· θα θεωρούσε ότι είναι η βούληση των θεών. Με δεδομένη μια τέτοια θεώρηση, η κατανόηση της τυχαιότητας δεν θα είχε νόημα. Κατά συνέπεια, η μαθηματική πρόβλεψή της θα φαινόταν αδύνατη. Μια άλλη εξήγηση μπορεί να βρίσκεται στην ίδια τη φιλοσοφική αντίληψη που έκανε τους Έλληνες τόσο μεγάλους μαθηματικούς: είχαν εμμονή με την απόλυτη αλήθεια, η οποία αποδεικνύεται μέσω της λογικής και των αξιωμάτων, και αντιπαθούσαν τις αβέβαιες αποφάνσεις. Στον Φαίδωνα του Πλάτωνα, για παράδειγμα, ο Σιμμίας λέει στον Σωκράτη ότι «τα επιχειρήματα που βασίζονται σε πιθανολογίες είναι παραπλανητικά» και ότι «εάν δεν χρησιμοποιηθούν με ιδιαίτερη προσοχή, ενδέχεται να εξαπατήσουν τόσο στη γεωμετρία όσο και σε άλλα». Στον Θεαίτητο, ο Σωκράτης λέει ότι ο μαθηματικός που «επιχειρηματολογεί σε θέματα γεωμετρίας βασιζόμενος σε πιθανότητες και εικοτολογίες δεν αξίζει τίποτα». Ωστόσο, ακόμα και οι Έλληνες που πίστευαν ότι όσοι ασχολούνταν με τις πιθανότητες άξιζαν κάτι ενδεχομένως να δυσκολεύονταν να συγκροτήσουν μια συνεπή θεωρία εκείνη την εποχή, προτού δηλαδή καθιερωθεί η συστηματική τήρηση αρχείων, διότι οι άνθρωποι έχουν, ως γνωστόν, εξαιρετικά φτωχή μνήμη όταν προβαίνουν σε εκτίμηση της συχνότητας -συνεπώς και της πιθανότητας συμβάντων του παρελθόντος.

Ποιες είναι περισσότερες: οι αγγλικές λέξεις με έξι γράμματα που το πέμπτο γράμμα τους είναι το n ή οι αγγλικές λέξεις με έξι γράμματα που τελειώνουν σε -ing; Οι περισσότεροι απαντούν ότι είναι οι λέξεις που τελειώνουν σε -ing. Γιατί; Επειδή είναι πιο εύκολο να σκεφτεί κανείς λέξεις με κατάληξη -ing παρά να βρει γενικώς και αορίστως λέξεις με έξι γράμματα που έχουν για πέμπτο γράμμα το n. Ωστόσο, δεν είναι ανάγκη να ψάξει κανείς στο λεξικό αγγλικής γλώσσας της Οξφόρδης -δεν χρειάζεται καν να ξέρει να μετρά-για να αποδείξει ότι αυτή η απάντηση είναι λανθασμένη: το σύνολο των λέξεων που έχουν έξι γράμματα με πέμπτο το n περιλαμβάνει όλες τις λέξεις που έχουν έξι γράμματα και τελειώνουν σε -ing. Οι ψυχολόγοι ονομάζουν αυτόν τον τύπο λάθους «μεροληψία διαθεσιμότητας», επειδή όταν ανασυνθέτουμε το παρελθόν δίνουμε αδικαιολόγητα μεγάλη σημασία σε αναμνήσεις που είναι ζωηρότερες και συνεπώς πιο διαθέσιμες προς ανάσυρση.

Το κακό με τη μεροληψία της διαθεσιμότητας είναι ότι διαστρεβλώνει με ύπουλο τρόπο την εικόνα μας για τον κόσμο επειδή διαστρεβλώνει την αντίληψή μας για τα παρελθόντα γεγονότα και για το περιβάλλον μας. Για παράδειγμα, οι άνθρωποι έχουν την τάση να υπερεκτιμούν το ποσοστό των αστέγων που είναι ψυχικά ασθενείς, διότι όταν συναντούν έναν άστεγο που δεν συμπεριφέρεται περίεργα αυτό δεν τους κάνει εντύπωση, και δεν σπεύδουν να μιλήσουν σ’ όλους τους φίλους τους γι’ αυτόν τον μη αξιοπρόσεκτο άστεγο που συνάντησαν. Όταν όμως συναντούν έναν άστεγο που περπατάει χτυπώντας τα πόδια του και γνέφοντας με τα χέρια του σ’ έναν φανταστικό σύντροφό του ενώ τραγουδάει το «When the Saints Go Marching In», έχουν την τάση να συγκρατούν στη μνήμη τους το περιστατικό. Πόσο πιθανό είναι, από τις πέντε ουρές στα ταμεία του σούπερ-μάρκετ, να διαλέξετε αυτή που καθυστερεί περισσότερο; Αν δεν σας έχει καταραστεί κάποιος που κάνει μαύρη μαγεία, η απάντηση είναι ότι η πιθανότητα είναι περίπου 1 στις 5. Γιατί λοιπόν όταν ανατρέχετε στο παρελθόν έχετε την εντύπωση πως διαθέτετε ένα υπερφυσικό ταλέντο να διαλέγετε την ουρά που αργεί περισσότερο; Διότι όταν όλα πηγαίνουν καλά εστιάζετε την προσοχή σας σε πιο ενδιαφέροντα πράγματα, ενώ όταν η κυρία που βρίσκεται μπροστά σας και έχει ένα μόνο πράγμα στο καρότσι της αποφασίζει να κάνει φασαρία επειδή το κοτόπουλό της κοστίζει 1,50 δολάριο το κιλό παρότι είναι σίγουρη ότι στο τμήμα κρεάτων η ταμπέλα έγραφε 1.49, τότε το περιστατικό σάς κάνει εντύπωση.

Διαστρεβλώνοντας την αντίληψή μας για το παρελθόν, η μεροληψία διαθεσιμότητας περιπλέκει κάθε προσπάθειά μας να το κατανοήσουμε. Αυτό ίσχυε για τους αρχαίους Έλληνες όσο ισχύει και για μας σήμερα. Τότε όμως υπήρχε ακόμη ένα μεγάλο εμπόδιο στο να διαμορφωθεί μια πρώιμη θεωρία της τυχαιότητας, ένα εμπόδιο πρακτικής υφής: μολονότι η στοιχειώδης θεωρία πιθανοτήτων απαιτεί μόνο τη γνώση αριθμητικής, οι Έλληνες δεν γνώριζαν αριθμητική, τουλάχιστον όχι μια εύχρηστη μορφή της. Για παράδειγμα, στην Αθήνα του 5ου αιώνα πΧ, στο απόγειο του ελληνικού πολιτισμού, για να γράψει κανείς αριθμό χρησιμοποιούσε ένα είδος αλφαβητικού κώδικα. Τα πρώτα εννέα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου αντιστοιχούσαν στους αριθμούς που εμείς συμβολίζουμε με 1 ως 9. Τα επόμενα εννέα γράμματα αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 10, 20, 30 και ούτω καθεξής.

Τέλος, τα τελευταία έξι γράμματα και τρία επιπλέον σύμβολα αντιστοιχούσαν στις εννέα εκατοντάδες (100, 200 κ.ο.κ. μέχρι το 900). Αν δυσκολεύεστε σήμερα με τις αριθμητικές πράξεις, φανταστείτε να έπρεπε να αφαιρέσετε το ΔΓΘ από το ΩΨΠ! Ακόμη χειρότερα, η σειρά με την οποία γράφονταν οι μονάδες, οι δεκάδες και οι εκατοντάδες δεν είχε ιδιαίτερη σημασία: μερικές φορές οι εκατοντάδες γράφονταν πρώτες, άλλοτε τελευταίες, ενώ σε άλλες περιπτώσεις δεν δινόταν καμία απολύτως σημασία στη σειρά. Τέλος, οι Έλληνες δεν διέθεταν μηδέν.

Η έννοια του μηδενός έφτασε στην Ελλάδα όταν ο Αλέξανδρος εισέβαλε στη Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία το 331 π.Χ. Ακόμα και τότε, παρόλο που οι Αλεξανδρινοί άρχισαν να το χρησιμοποιούν για να συμβολίσουν την απουσία αριθμού, το μηδέν δεν χρησιμοποιούνταν σαν καθαυτό αριθμός. Στα σύγχρονα μαθηματικά ο αριθμός 0 έχει δύο βασικές ιδιότητες: στην πρόσθεση είναι ο αριθμός που όταν προστίθεται σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό τον αφήνει αμετάβλητο, ενώ στον πολλαπλασιασμό είναι ο αριθμός που όταν πολλαπλασιάζεται με οποιονδήποτε άλλο παραμένει ο ίδιος αμετάβλητος. Αυτή η έννοια εισήχθη μόλις τον 9ο μ.Χ. αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Μαχαβίρα.

Ακόμα και μετά την ανάπτυξη ενός εύχρηστου αριθμητικού συστήματος, χρειάστηκε να περάσουν πολλοί αιώνες μέχρι να φτάσουν οι άνθρωποι να αναγνωρίσουν ότι η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση αποτελούν θεμελιώδεις αριθμητικές πράξεις – και να αντιληφθούν σταδιακά ότι η υιοθέτηση κατάλληλων συμβόλων θα έκανε τον χειρισμό τους πολύ ευκολότερο. Έτσι, χρειάστηκε να φτάσουμε μέχρι τον 16ο αιώνα για να είναι ο δυτικός κόσμος πραγματικά έτοιμος να αναπτύξει μια θεωρία πιθανοτήτων. Ωστόσο, παρά το μειονέκτημα ενός δύσχρηστου συστήματος υπολογισμών, ο λαός που έκανε τα πρώτα βήματα προόδου για την κατανόηση της τυχαιότητας ήταν αυτός που κατέκτησε τους Έλληνες – οι Ρωμαίοι.

ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΜΕΘΥΣΜΕΝΟΥ
LEONARD MLODINOW
ΕΚΔΟΣΕΙΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ SCI-CLOPEDIA

lecturesbureau

Η ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΤΟΥ ΕΝΑΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ